23) VEZA ODREDJENOG INTEGRALA I PRIMITIVNE FJE – NJUTN – LAJBNICOVA FORMULA.  TEOREMA: AKO JE FJA F INTEGRABILNA NA SEGMENTU [ A,B] I IMA NA TOM SEGMENTU PRIMITIVNU FJU F, TADA JE ò _A^B F(X) DX = F(B) – F(A). PIŠE SE ò _A^B F(X) DX = F(X) ½_A^B =  F(B) – F(A). NEKA SU U I V DVE DIFERENCIJABILNE FJE NA [A,B] TADA JE ò _A^B U DV = UV ½ _A^B - ò _A^B V  DU.

24) METODE IZRAČUNAVANJA ODREDJENOG INTEGRALA.  METODA PRAVOUGAONIKA BAZIRA DIREKTNO NA DEFINICIJI POJMA ODREDJENOG INTEGRALA. ZA APROKSIMATIVNE VREDNOSTI ODREDJ. INT. MOŽEMO UZETI: ò _A ^B  F (X) DX »  (B –A) / N [ F(A) + F(X1)+...+ F(X _{N – 1} )] , ILIò _A ^B  F (X) DX »  (B –A) / N  [ F(X1) + ...+ F(X _{N – 1} ) + F(B)] . KOD TRAPEZNE METODE UMESTO PRAVOUGAONIKA ZA APROKSIMACIJU KORISTIMO TRAPEZE. DEO KRIVOLONIJSKOG TRAPEZA AABB IZMEDJU PRAVIH  X = X I – 1 I X = XI ZAMENJUJEMO TRAPEZOM OSNOVICA F ( XI – 1) I F(XI) I VISINOM XI – XI – 1, TAKO DA JE  ò _A ^B  F (X) DX »  å I = 1, N  (F ( XI – 1) + F(XI) / 2) (XI – XI – 1). AKO JE SEGMENT [A,B] PONOVO PODELJEN NA N JEDNAKIH DELOVA H = (B – A) / N, GORNJA FORMULA DOBIJA OBLIK. ò _A ^B  F (X) DX »  (B –A) / N [ F(A) + F(B) / 2 + åI = 1, N – 1 F (XI)]. KOD METODE PARABOLE POVRŠINU KRIVOLINIJSKOG TRAPEZA KRIVE F NAD SEGMENTOM [ X 2K – 2, X 2K] ZAMENJUJEMO POVRŠINOM KRIVOLINIJSKOG TRAPEZA PARABOLE Y = A_K X² + B_KX + C_K  NAD ISTIM SEGMENTOM. DOBIJAMO FORMULU: ò _A ^B  F (X) DX »  (B –A) / 6N [ F(A) + F(B) + 4 å I = 1, N F(X 2K – 1) + 2å I = 1,N F(X 2K)] . TO JE SIMPSONOVA F – LA. 

25) IZRAČUNAVANJE DUŽINE LUKA KRIVE, POVRŠINE I ZAPREMINE ROTACIONOG TELA.  ZAPREMINA TELA NASTALOG ROTACIJOM TRAPEZA AABB OKO 0X OSE IZRAČUNAVA SE POMOĆU F – LE: V = p ò _A ^B F(X) ² DX. DUŽINA LUKA AB KRIVE F DATA JE, U DEKARTOVIM I U POLARNIM KOORDINATAMA, REDOM SA L = ò _A ^B Ö 1 + F ' (X) ² DX, L = ò _a ^b Ö R ² + R ' ² Dj. POVRŠINA POVRŠI NASTALE ROTACIJOM LUKA AB OKO 0X OSE DATA JE SA P = 2p ò _A ^B | F(X) | Ö 1 + F ' (X) ² DX.

26) UOPŠTENI INTEGRAL. POJAM ODREDJENOG INTEGRALA MOŽE SE UOPŠTITI: POSMATRAJMO FJU F DEFINISANU NA POLUSEGMENTU [ A,B), ZA KOJI VAŽI: 1) F – JA F JE INTEGRABILNA NA PROIZVOLJNOM SEGMENTU [ A,T], GDE JE T < B, 2) F- JA F JE NEOGRANIČENA U OKOLINI TAČKE B ILI JE B = ¥ . AKO POSTOJI KONAČNA GRANIČNA VREDNOST LIM ò _A ^T F(X) DX , T ® B, UZIMAMO DA JE I = ò _A ^B F(X) DX = LIM T ® B ò _A ^T F(X) DX , I KAŽEMO DA JE INTEGRAL I KONVERGENTAN. U PROTIVNOM KAŽEMO DA JE INT. I DIVERGIRA. OVAKVI INTEGRALI NAZIVAJU SE UOPŠTENI ( NEOSVOJIVI ) INTEGRALI. ANALOGNO SE DEFINIŠU UOPŠT INTEGRALI ZA DONJU GRANICU ILI ZA OBE GRANICE. PR: ò _{- ¥}^+¥  DX / 1 + X2 = ARCTAN X ½ _{- ¥}^+¥  = p /2 – ( - p /2) = p .

27) POJAM DIFERENCIJALNE J – NE, PARTIKULARNOG I OPŠTEG REŠENJE SA GEOMETRIJS INTERPRETACIJOM. JNA U KOJOJ SE PORED ARGUMENATA I NEPOZNATE FJE POJAVLJUJU I IZVODI TE FJE NAZIVA SE DIFERRENCIJALNA JEDNAČINA. DIF. JNA SA JEDNIM SRGUMENTOM NAZIVA SE OBIČNA DIF- JNA, A JEDNAČINA SA VIŠE ARGUMENATA NAZIVA SE PARCIJALNA  DIF- JNA. POD REDOM DIF. JNE PODRAZUMEVAMO NAJVIŠI RED IZVODA KOJI SE POJAVLJUJU U TOJ JNI. OPŠTI OBLIK DIF. JNE N – TOG REDA JE: F ( X, Y, Y ',..., Y ^(N)) = 0, GDE JE Y = Y(X). SVAKA F- JA Y : X ® Y(X) KOJA ZADOVOLJAVA DIF. JNU TJ. KOJA ZAMENOM Y(X) U DIF. JNI SVODI OVU NA IDENTITET, NAZIVA SE REŠENJE ( INTEGRAL) DIF. JNE. FJA Y JE DEFINISANA RELACIJOM G( X,Y, C1,C2,...,CN) = 0, I ZADOVOLJAVA JNU F ( X, Y, Y ',..., Y ^(N)) = 0 , I KAŽEMO DA JE ONA OPŠTE RNJE TE JNE. RNJE DIF. J – NE KOJE SE DOBIJA IZ OPŠTEG RNJA NA TAJ NAČIN ŠTO SE KONSTANTAMA CI DAJU FIKSNE VREDNOSTI C _I ⁰,  1 £ I £ N NAZIVA SE PARTIKULARNO RNJE DIF. JNE. PARTIKULARNO RNJE DIF. JNE F ( X, Y, Y ',..., Y ^(N)) = 0 BIĆE FJA Y ODREDJENA VEZOM G( X,Y, C₁ ⁰,C₂ ⁰,...,C_N ⁰ ) = 0. POSTOJE REŠENJA DIF. J – NE KOJA SE NE MOGU DOBITI IZ OPŠTEG RNJA DAVANJEM KOONSTANTAMA ODREDJENIH VREDNOSTI. TAKVA REŠENJA SE NAZIVAJU SINGULARNA RNJA. GEOMETRIJSKI, SVAKO RNJE NEKE DIF. JNE PREDSTAVLJA KRIVU U DEKARTOVOM PRAVOUGLOM KOORDINATNOM SISTEMU. STOGA SE RNJE DIF. JNE ČESTO NAZIVA I INTEGRALNA KRIVA. OPŠTE RNJE DIF.JNE PREDSTAVLJA SKUP (FAMILIJU) INTERALNIH KRIVIH, PRI ČEMU KROZ SVAKU TAČKU RAVNI PROLAZI NE VIŠE OD JEDNE KRIVE TE FAMILIJE.

28) DIF. JNA KOJA RAZDVAJA PROMENLJIVE I HOMOGENA DIF. JNA.  NAJJEDNOSTAVNIJA DIF. JNA IMA OBLIK Y ' = F(X), GDE JE F NEPREKIDNA FJA. NJENO RNJE DATO JE SA Y = ò F(X) DX + C. AKO JE U DIF. JNI Y ' = F(X,Y), F – JA F TAKVA DA JE F(X,Y) = G(X) / H(Y) , GDE SU G I H FJE JEDNOG ARGUMENTA ONDA JE H(Y) DY = G(X) DX. U SLUČAJU KADA SE JNA Y ' = F(X,Y) MOŽE NAPISATI U OBLIKU H(Y) DY = G(X) DX, KAŽEMO DA SU U NJOJ PROMENLJIVE RAZDVOJENE. IZ JNE H(Y) DY = G(X) DX SE VIDI DA SE PRIMITIVNE FJE FJA G I H RAZLIKUJU SAMO ZA PROIZVOLJNU KONSTANTU C, TJ. ò H(Y) DY = ò G(X) DX + C. TO JE OPŠTE RNJE JNE H(Y) DY = G(X) DX. NA OBLIK H(Y) DY = G(X) DX MOŽE SE DOVESTI I DIF- JNA OBLIKA P1(X) Q1(Y) DX + P2(X) Q2(Y) DY = 0. AKO JE P2 (X) ¹ 0 I Q1(Y) ¹ 0 IMAMO (Q2(Y) / Q1 (Y)) DY = (- P1(X)  / P2(X)) DX. DIF- JNA OBLIKA Y ' = F ( Y / X), NAZIVA SE HOMOGENA DIF- JNA. DA BI REŠILI OVU JNU UVODIMO SMENU Y = XU, GDE JE U NOVA FJA. IMAMO Y ' = U + XU', TE J – NA Y ' = F ( Y / X) DOBIJA OBLIK : U + XU ' = F(U), TJ. X DU = [ ò F(U) - U ] DX. U OVOJ JNI PROMENLJIVE SE  MOGU RAZDVOJITI AKO JE F(U) ¹ U, TE DOBIJAMO DU / (F(U) – U) = DX / X. INTEGRACIJA OVE JNE DAJE ò DU / (F(U) – U) = LOG ½X½ - LOG C. TJ. X = C G(U) . VRAĆANJEM U PRVOBITNU FJU Y DOBIJAMO ZA OPŠTE RNJE JNE  Y ' = F ( Y / X) IZRAZ X = C G( Y/ X). AKO JE F(U) = U ONDA SU U Y ' = F ( Y / X) PROMENLJIVE VEĆ RAZDVOJENE. DIF. JNA OBLIKA Y ' = F ( AX + BY + C / AX + BY + C) MOŽE SE SVESTI NA JNU Y ' = F ( Y / X).

29) LINEARNA DIF. J – NA I REDA. DIF. JNA OBLIKA A₀ (X) Y ' + A₁ (X) Y + A₂(X) = 0, GDE SU AI, I = 0,1,2 DATE FJE, NAZIVA SE LINEARNA DIF. JNA. DELJENJEM  JNE A₀ (X) Y ' + A₁ (X) Y + A₂(X) = 0 SA A₀ ¹ 0 DOBIJAMO EKVIVALEN JNU JEDNOSTAVNIJEG OBLIKA Y ' + PY + Q = 0, GDE JE P = P(X) = A1 (X) / A0(X), Q = Q(X) = A2(X) / A0(X).. NEKA SU U I V DVE DIFERNCIJABILNE FJE SRGUMENTA X. FJE U I V ODREDIĆEMO TAKO DA Y = UV  BUDE RNJE JNE Y ' + PY + Q = 0 . IZ Y = UV  DOBIJAMO Y ' = U ' V + U V '. ZAMENJUJUĆI Y I Y '  DOBIJAMO U ' V + U V ' + PUV + Q = 0 ILI U ' V + U ( V ' + PV ) + Q = 0. ODREDIMO FJU TAKO DA BUDE V ' + PV = 0. TADA SE JNA U ' V + U ( V ' + PV ) + Q = 0 SVODI  NA U ' V + Q = 0. IZ JNE V ' + PV = 0 DOBIJAMO REDOM DV / V = - PDX, LOG ½V½ = - ò P DX, V = E ^{- ò P DX} = EXP ( - ò P DX). AKO ZAMENIMO POSLEDNJU JEDNAČINU U U ' V + Q = 0 DOBIJAMO JNU  U ' EXP ( - ò P DX ) + Q = 0, TJ. DU = - Q ( EXP ò P DX ) DX. INTEGRACIJOM DOBIJAMO U = C - ò Q E ^{ò P DX} DX. ZAMENOM U I V IZ PRETHODNIH JEDNAČINA U Y = UV  DOBIJAMO OPŠTE REŠENJE LINEARNE DIF. JNE Y ' + PY + Q = 0 U OBLIKU Y = E ^{- ò P DX} ( C - ò Q E ^{ò P DX} DX). MOŽE SE NAPISATI I U OBLIKU Y = CF1(X) + F2(X), TJ. KAO LINEARNA FJA INTEGRACIONE KONSTANTE.

30) BERNULIJEVA DIF. JNA. DIF. JNA OBLIKA A0 (X) Y ' + A1(X) Y + A2(X) Y ^R = 0, R Î R ILI JEDNOSTAVNIJE Y ' + PY + QY ^R = 0 NAZIVA SE BERNULIJEVA DIF. JNA. ZA R = 0 ILI R = 1 JNA Y ' + PY + QY ^R = 0 POSTAJE LINEARNA JNA. AKO JE R ¹ 0 I R ¹ 1 UVODIMO SMENU Y = Z ^K, GDE JE Z NOVA NEPOZNATA FJA, A K KONSTANTA. TADA IMAMO Y ' = KZ ^{K – 1} Z ' I JNA Y ' + PY + QY ^R = 0 POSTAJE KZ ^{K – 1} Z ' + PZ ^K + QZ ^KR = 0, TJ. Z ' + (1/K) PZ + (1/K) QZ ^{KR – K + 1} = 0. AKO UZMEMO DA JE K = 1/ (1 – R) , TADA PRETHODNA JNA GLASI Z ' + ( 1/K) PZ + (1 / K) Q = 0, A TO JE LINEARNA DIF. JNA. OPŠTE REŠENJE JNE Z ' + ( 1/K) PZ + (1 / K) Q = 0 IMA OBLIK Z = CF1(X) + F2(X), GDE JE C PROIZVOLJNA KONSTANTA I GDE SU F1 I F2 ODREDJENE FJE. OPŠTE REŠENJE BERNULIJEVE JNE MOŽE SE IZRAZITU U OBLIKU Y = ( CF1(X) + F2(X)) ^{1/ ( 1 – R)} .

31) LINEARNA DIF. JNA II REDA SA KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA – HOMOGENA I NEHOMOGENA.  HOMOGENA SA KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA: Y ^(N) + A1Y ^{( N – 1)} + A2Y ^{( N – 2)} + ...+ ANY = 0, K^N + A1K ^{N – 1} + A2K ^{N – 2} + ...+ AN – 1 K + AN = 0 – KARAKTERISTIČNA JEDNAČINA. 1) KORENI REALNI I RAZLIČITI Y = C1E ^K1X + C2E ^K2X + ...+ CN E ^KNX – OPŠTE REŠENJE, 2) KOREN K1 JE VIŠESTRUKOSTI P , DEO REŠENJA E ^K1X [ C1 + C2X + ...+ CPX ^{P - 1}], 3) KOMPLEKSNI KORENI A + IB, A – IB, DEO REŠENJA E ^AX [ C₁COSBX + C₂SINBX]. NEHOMOGENA : Y ^(N) + A1Y ^{(N – 1)} + ...+ ANY = F(X), F(X) ¹ 0. REŠENJE NEHOMOGENE JE Y = Y _OX – OPŠTE REŠENJE HOM. + Y_P. PREPIŠI TABLICU ZA NEHOMOGENU.

32) METODA VARIJACIJE KONSTANATA. OPŠTA LINEARNA JNA DRUGOG REDA IMA OBLIK Y '' + F(X) Y ' + G(X) Y = H (X). I NEHOMOGENA JE JER JE H (X) = 0, AKO JESTE 0 ONDA JE HOMOGENA. OPŠTE RNJE PRETHODNE JNE JE Y = D1Y1 + D2Y2 + Y1F1 + Y2F2. OVA METODA ODREDJIVANJA OPŠTEG RNJA NEHOMOGENE JNE , KAD JE  POZNATO OPŠTE RNJE ODGOVARAJUĆE HOMOGENE JNE, NAZIVA SE ( LAGRANŽEV) METODA VARIJACIJE KONSTANATA. OPŠTE RNJE  Y = D1Y1 + D2Y2 + Y1F1 + Y2F2 J – NE Y '' + F(X) Y ' + G(X) Y = H (X) IZRAŽENO KAO ZBIR OPŠTEG RNJA C1Y1 + C2Y2 JNE Y '' + F(X) Y ' + G(X) Y = 0 I JEDNOG PARTIKULARNOG RNJA Y1F1 + Y2F2 J – NE Y '' + F(X) Y ' + G(X) Y = H (X).

33) VIŠESTRUKI INTEGRALI – OSNOVNI POJMOVI.  ZBIR å I = 1,N F(XI, YI) D SI, NAZIVA SE N – TA INTEGRALNA SUMA ZA FJU F U OBLASTI D, KOJA ODGOVARA DATOJ PODELI TE OBLASTI NA N PARCIJALNIH OBLASTI I DATOM IZBORU TAČAKA PI,  1 £ I £ N. GRANIČNA VREDNOST INTEGRALNE SUME å I = 1,N F(XI, YI) D SI , KAD NAJVEĆI DIJAMETAR PARCIJALNIH OBLASTI TEŽI NULI, NAZIVA SE DVOJNI INTEGRAL FJE F U OBLASTI D I OZNAČAVA SE òò_D F(X,Y) DS. IZRAZ F(X,Y) DS NAZIVA SE PODINTEGRALNI IZRAZ, F JE PODINTEGRALNA FJA, D JE OBLAST INTEGRACIJE, A X I Y SU PROMENLJIVE INTEGRACIJE. OSOBINE DVOJNOG INTEGRALA: 1) òò_D å I = 1,N aI FI (X,Y) DS = å I = 1,N aI òò_D FI(X,Y) DS; 2) òò_D F(X,Y) DS = å I = 1,N òò_DI F(X,Y) DS, GDE JE D = È I = 1,N DI, A DI I DJ, J ¹ I NEMAJU ZAJEDNIČKIH UNUTRAŠNJIH TAČAKA. INTEGRALI I = ò _A ^B DX ò _Y1 ^Y2 F(X,Y) DY = ò _C ^D DY ò _X1 ^X2 F(X,Y) DX, NAZIVAJU SE DVOSTRUKI INTEGRALI, A SAM POSTUPAK RAZDVAJANJA GRANICA INTEGRALA NAZIVA SE SVODJENJE DVOJNOG INTEGRALA NA DVOSTUKI.  INTEGRAL òò_D F(X,Y) DS MOŽE SE IZRAČUNATI I PRELASKOM NA POLARNE KOORDINATE. FORMULA ZA TREŽANSFORMISANJE DVOSTRUKOG INTEGRALA IZ DEKARTOVOG PRAVOUGLOG KOORDINATNOG SISTEMA U POLARNI GLASI : I = òò_D F(X,Y) DXDY = òò_D F(R COS j , R SIN j ) R DR Dj. TROJNI INTEGRAL OBELEŽAVAMO I = òòò _W F(X,Y,Z) DV. INTEGRAL I = ò _A ^B DX ò _Y1 ^Y2 DY ò _Z1 ^Z2 F (X,Y,Z) DZ NAZIVA SE TROSTRUKI INTEGRAL.

34) OSNOVNI POJMOVI O REDOVIMA.  NEKA JE ( AN) REALAN NIZ. IZRAZ OBLIKA A1+A2+...+AN+...= å N = 1,¥ AN NAZIVA SE NUMERIČKI RED. BROJEVI A1,A2,...,AN,... SU ČLANOVI REDA, A AN JE OPŠTI ČLAN REDA. NIZ PARCIJALNIH ZBIROVA REDA A1+A2+...+AN+...= å N = 1,¥ AN JE SN = A1+A2+...+AN, ZA RED A1+A2+...+AN+...= å N = 1,¥ AN KAŽEMO DA JE KONVERGENTAN AKO JE NIZ SN = A1+A2+...+AN KONVERGENTAN. U TOM SLUČAJU BROJ LIM SN = S, N ®¥ NAZIVA SE ZBIR REDA A1+A2+...+AN+...= å N = 1,¥ AN I ZAPISUJE SE S= A1 + A2 + ...+ AN + ... AKO NIZ SN = A1+A2+...+AN NE KONVERGIRA, ONDA RED A1+A2+...+AN+...= å N = 1,¥ AN DIVERGIRA. TEOREMA: AKO RED A1+A2+...+AN+...= å N = 1,¥ AN KONVERGIRA, ONDA KONVERGIRA I RED KOJI SE DOBIJA IZ REDA A1+A2+...+AN+...= å N = 1,¥ AN DODAVANJEM ILI ODUZIMANJEM PROIZVOLJNOG KONAČNOG BROJA ČLANOVA. TEOREMA: AKO RED A1+A2+...+AN+...= å N = 1,¥ AN KONVERGIRA NJOGOV OPŠTEI ČLAN AN TEŽI KA NULI. RED A1+A2+...+AN+...= å N = 1,¥ AN JE RED SA POZITIVNIM ČLANOVIM A ILI POZITIVAN RED AKO JE AN  ³ 0, N Î N. TEOREMA: AKO JE NIZ PARCIJALNIH ZBIROVA POZITIVNOG REDA OGRANIČEN ODOZDO, ONDA JE TAJ RED KONVERGENTAN. ZA RED A1+A2+...+AN+...= å N = 1,¥ AN KAŽEMO DA JE APSOLUTNO KONVERGENTAN AKO JE RED ½A1½ + ½A2½+...+½AN½+... KONVERGENTAN. NEKA JE ( UN) NIZ F – JA , GDE JE UN :  D ® R, D Í R. IZRAZ OBLIKA U1(X) + U2(X) + ...+ UN (X) + ... NAZIVA SE FUNKCIONALNI RED. FUNKCIONALNI RED OBLIKA A₀ + A1( X – X₀) + A2(X – X₀)² + ...+ A_N( X – X₀) ^N + ..., GDE SU A0,A1,...,AN,... I X₀ KONSTANTE, NAZIVA SE STEPENI RED. TRIGONOMETRIJSKI RED JE FUNKCIONALNI RED OBLIKA (½) A₀ + å N = 1,¥ ( A_N COS NX + B_N SIN NX).

Komentari (0)

RSS link na komentare

Ime

Email

Naslov

Komentar

smanji | povećaj

Dodaj komentar